連成振動子系におけるパラメータ空間離散化の判別条件――音叉モード

要旨　本研究では、二次特性方程式によってダイナミクスが支配される連成振動子系の一クラスに対し、厳密な3パラメータ代数モデルを構築する。系を、特性多項式 P(λ) = λ² − 2bλ + (ac + 1) をもつ三つ組 (a, b, c) ∈ R³₊ として抽象化することにより、唯一の正の実固有値が存在するための必要十分条件が恒等式 b² = ac + 1 であることを証明する。幾何学的には、この恒等式は連続なパラメータ空間を一葉双曲面 Σ へと離散化し、それによって系のスペクトル特性を制約する。判別式がゼロになると固有空間は一次元へ縮退し、振動モードは代数的に単一の方向へ固定される。応用として、標準的なA4音叉の正規化された力学的パラメータが測定不確かさの範囲内でこの恒等式を満たすことを示し、その基本周波数の固定に対する簡潔な代数的説明を与える。本モデルは線形代数の水準に限定され、減衰および非線形効果は扱わない。

https://doi.org/10.21203/rs.3.rs-10911822/v1