Reijtenbagh, Tummers, Westerweel [Phys. Rev. Lett. 130, 174001 (2023)] は、板をその自身の面に垂直方向に加速したときの瞬時の抗力を測定し、\(\hat F_a=C_a\rho A\sqrt{\nu aV_a}\) を報告した。ここで \(C_a\simeq291\) は加速度および速度に依存せず、これを一次元ストークス問題の履歴力として合理化した。本研究では、正しいモデル問題――ひずみ速度が時間に対して線形に増大する非定常の Hiэmenz 層――を解く。Sun [Phys. Fluids 36, 083616 (2024)] の相似変換を用いる。二次元境界層方程式は、\((\eta,\tau)\) の中で単一の方程式へと縮約され、その係数は流れ方向座標に依存しない。先頭項の解は厳密に成立し、第二種のクンマー関数として与えられる。この変換により、実験での無次元時間が拡散時間に対応することが示され \(\tau=2t^{*}\) となり、さらに厳密な幾何学的恒等式によって、実験的な法則が係数 \(2/\sqrt{\pi}\) を同じくして導かれる。さらにこの結果は、任意の速度プログラムに対して、バセットのメモリー積分として一般化できる。得られた力は測定値より小さく、その差は、拡散長に対する板寸法の比 \(h/\delta=\sqrt{a^{*}\mathrm{Re}_h}\) と、残差の因子 2 に厳密に因数分解できることを示す。すなわち、境界層は \(\sqrt{\nu t}\) にわたって流体を加速し、板は \(h\) にわたって流体を加速する。次に、経験則を公表データに照合する。報告された係数を全ての運転条件についてデジタル化すると、\(C_a\) は一定ではなく \(V_a^{0.36\,[0.28,0.45]}\) に従って増大し、仮定していた \(\nu^{1/2}\) スケーリングを約 7 標準偏差で排除する。付録動画をフレームごとに解析すると、加速中を通じてパラメータを一切当てはめることなく、\(F_D \approx \rho \, l_a \, \frac{d(\Gamma b_v)}{dt} \) が 10% 以内で成り立つ。したがって、始動した板に作用する非定常力は渦度的である。高粘度で数回だけ実験を繰り返す単独の実験で指数が確定される。
https://doi.org/10.20944/preprints202609.0246.v1