圧縮としての数学的記法

数学的記法は標準的に記録のための慣用として扱われている。本論文は、記法を圧縮技術とみなし、基礎的な算術階層――数え上げ、加算、乗算、冪（べき）――それ自体が圧縮階層であると主張する。各階層は、その下の階層の反復的適用を圧縮し、各圧縮の行為は、下位では記述長が不可能に大きくないと表現できなかった構造のクラスを、安価に表現可能なものとして作り出す。この意味で素数は加算の内部からは見えない。大きさの加法表現の内部からはスケーリング則は見えない。議論を組織する二つの原理がある。第一に、成功した圧縮は構造の測定である。圧縮は、規則性が存在するときにのみ可能であり、規則性が存在しないときには情報的に失敗する。第二に、圧縮表現は、利用された規則性を、下位の階層の算術によって支配される操作可能な対象へと変換する。すなわち、数の乗算は指数の加算になる。したがって各階層は、単なる略記ではなく認知的な道具である。記法の圧縮とアルゴリズム上の改善を区別する二部からなる基準がある。置き換えられた表現は、その領域のすべての対象を一様に価格づけし、圧縮されたパラメータはそれ自身の法則を獲得する。力学、量子状態表現、ニューラルネットワークにおけるこのパターンの具体例は概説されるが、詳細は別途の扱いとして留保される。

https://doi.org/10.20944/preprints202609.0207.v1