本論文は、可換バナッハ代数上の半群 \(\left(T\left(t+\xi\left(t\right)\right)-T\left(t\right)\right\rVert\) の原点近傍での局所漸近挙動を調べる。ここで \(\left(T\left(t\right)\right\right)_{t\gt 0}\) は半群であり、\(\xi:\left]0,+\infty\right[\rightarrow\left]0,+\infty\right[\) は \(\operatorname{\underset{t\rightarrow 0^{+}}{\lim\inf}}\ \frac{\xi\left(t\right)}{t\gt 0}\) を満たす連続関数である。第一の主要結果として、この半群が生成する閉部分代数 A が単位元を持たないならば、\(\operatorname{\underset{t\rightarrow 0^{+}}{\lim\sup}}\left\lVert T\left(t+\xi\left(t\right)\right)-T\left(t\right)\right\rVert\gt 0\) が成り立つことを示す。応用として、円板代数 \(A(\bar{\mathbb{D}})\) の厳密な漸近公式を導く。半群 \(\left(T\left(t\right)\right)_{t\gt 0}\) を \(A(\bar{\mathbb{D}})\) 上で \(\left(T\left(t\right)f\right)\left(z\right)=f\left(e^{-t}z\right)\)（\(f\in A(\bar{\mathbb{D}}),\ z\in\mathbb{D}\)）により定め、さらに \(\lim_{t\rightarrow 0^{+}}\ \frac{\xi\left(t\right)}{t}=\mathrm{\gamma}\) が有限であると仮定して、\(\operatorname{\underset{t\rightarrow 0^{+}}{\lim\sup}}\left\lVert T\left(t+\xi\left(t\right)\right)-T\left(t\right)\right\rVert=\frac{\gamma}{\left(1+\gamma\right)^{1+\frac{1}{\gamma}}}\) を証明する。加えて、この半群が生成する閉部分代数は単位元を持たない。
https://doi.org/10.20944/preprints202609.0188.v1