\(\theta\)を序数とし、\( (N_\alpha)_{\alpha\leq\theta} \)をハウスドルフ位相群\(G\)の閉正規部分群による連続的に増加する階層で、\(N_0=\{e\}\)とする。\(G\)のライコフ完備を\(\rho G\)と書き、\(K_\alpha=\overline{N_\alpha}^{\rho G}\)および\(H_\alpha=GK_\alpha\)とおく。群\(H_\alpha\)の successive differences と、それに対応する極限差は、ライコフ完備の点が old quotient points になる最初の段階を特徴づける。非空な層をもつ段階の集合は、擬コンパクト性のもとでも任意に与えられる。任意の非零の序数\(\theta\)と任意の集合\(S\subseteq(0,\theta]\)に対して、各部分群が擬コンパクトであり、非空な層がちょうど\(S\)で与えられる段階に現れるような、ハウスドルフ擬コンパクトなブール群で、閉正規部分群による連続的な階層をもつものが存在する。終端の商は同時に\(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)と同型に選べ、また任意の\(\delta<\theta\)について、successive factor\(N_{\delta+1}/N_\delta\)がコンパクトであることと\(\delta+1\notin S\)であることがちょうど同値になる。したがって、極限段階に単一の非空な層がある場合でも、各 successive factor がすべてコンパクトであるとは限らない。実現定理は、商拡大のファイバーに関する厳密な記述を用いる。\(G\)の閉正規部分群\(N\)に対し、商準同型を\(\widehat q:\rho G\to\rho(G/N)\)で拡張し、\(K=\overline N^{\rho G}\)と書く。埋め込まれた商点\(gN\)に対応する\(\rho G\setminus G\)内のファイバーは\(g(K\setminus N)\)であり、ライコフ剰余\(\rho N\setminus N\)に同相である。一方、\(y\in\widehat q(\rho G)\setminus(G/N)\)では、\(\widehat q\)-ファイバー全体が\(\rho G\setminus G\)に含まれ、\(\rho N\)のコピーになる。precompact な核に対しては、これにより自然な分解が得られ、入れ子になった商は、transfinite filtration の基礎となる二段階の恒等式を与える。コンパクトな核の場合、像元の擬コンパクト性と、商剰余の擬コンパクト性は同値になる。非コンパクトな precompact 核では、源剰余は商完備全体へ写像され、可算アーベルの場合の例では、擬コンパクトな商剰余とそうでない商剰余の双方が現れる。
https://doi.org/10.20944/preprints202608.2304.v1