$\mathcal{I}$ が $\mathbb{N}$ 上の適切なイデアルであり、$\operatorname{Fin}$ を $\mathbb{N}$ の有限部分集合のイデアルとする。Zhou--Liu--Liu--Lin は、$\sigma$-hereditarily closure-preserving$\mathcal{I}$-$(sn)$-ネットワークをもつすべての正則空間が、$\mathcal{I}$-(sn)-可測であるかどうかを問うた。中核となる条件は局所 HCP 有限性であり、$\operatorname{HCF}(\mathcal{I})$ と表す。標準の $\mathfrak{p}^{-}$ 性質はこの条件を含意する。$\mathcal{K}$ が $\mathfrak{p}^{-}$ をもち、$\mathcal{J}$ が局所 HCP 有限性をもつなら、$\mathcal{K}\otimes\mathcal{J}$ は局所 HCP 有限性をもつ。内的イデアルが変わる場合、外的イデアルが $\mathfrak{p}^{-}$ をもち、$\mathcal{K}$-小集合に属さない行の外側で局所 HCP 有限性と行をまたぐ Kat\v{e}tov 吸収が成り立つとき、異種和は局所 HCP 有限性をもつ。Kat\v{e}tov の最初の極限段階で、異種定理は $\operatorname{HCF}(\operatorname{Fin}^{\omega})$ を証明する。一方、一定の内的持ち上げにより、$0<r<\omega$ に対して $\operatorname{HCF}(\operatorname{Fin}^{\omega+r})$ が得られる。したがって、これらの各イデアルについて肯定的な答えが成り立つが、いずれも $\mathfrak{p}^{-}$ をもたない。ある可算集合上の適切なイデアルの増大列で、その和が真のイデアルであるものを考えると、コフィナリーに多くの段階で $K$-一様性と局所 HCP 有限性が成り立つなら、局所 HCP 有限性はその和へ受け継がれる。ランク $\omega$ の極限イデアルが増大和定理の仮定を満たす。Pelayo G\'omez の樹木由来の階層に対して、その定理は $\boldsymbol{\Sigma}^{0}_{\omega}$ イデアル $\mathcal{H}_{<\omega}$ に関する同じ問いへの肯定的な答えを与える。有限近似段階が有限 Fubini 冪のサポート持ち上げと同型である帰納極限 $\operatorname{Fin}_{\omega}$ は、同様の可測化の結論を満たす。これら両方の極限イデアルは分離階数が $\omega$ であり $\mathfrak{p}^{-}$ を満たさない。従って $\mathfrak{p}^{-}$ は可測化の結論に対して十分だが必要ではない。
https://doi.org/10.20944/preprints202608.2228.v1