オイラーの微分方程式とボルテラの積分方程式を通じたメリン変換

複素数 $s$ に対して実部が $\Re(s)\in [0,1)$ のときのメリン変換 $\mathcal{M}\{f\}(s)$ を考える。この量を、対応する非同次の線形微分方程式（パラメータ $s$ を含む）が連続で有界な解をもつことを許すような、一意な初期条件として表現する。さらに、オイラーの微分方程式を通じて $\mathcal{M}\{f\}(s)$ とその対称量 $\mathcal{M}\{f\}(1-s)$ の間に線形関係を確立し、さらにボルテラの積分方程式の形で $\mathcal{M}\{f\}(s)$ とその対称共役 $\mathcal{M}\{f\}(1-\overline{s})$ の間にも線形関係を与える。ここで非同次項は、直線 $\Re(z)=1$ へ射影された同一の線形結合である。これにより、複素の微分方程式および積分方程式の解の漸近挙動と有界性を通して、メリン変換を力学的に言い換える枠組みが得られる。特に、本枠組みは、スケーリング則とスペクトル分布の解析におけるメリン変換の役割によって動機づけられている。

https://doi.org/10.33774/coe-2026-zj434-v10